심슨 정리(심슨선) | 외접원과 세 수선의 발 증명·인터랙티브 도구

심슨선의 정의와 정리

심슨선은 삼각형 ABC의 외접원 위 한 점 P에서 세 변 또는 그 연장선에 내린 수선의 발 D, E, F를 지나는 직선입니다. 문헌에서는 발견자를 반영해 월리스–심슨선이라고도 부릅니다.

용어 구분: ‘Simson line’의 한국어 검색에서 ‘심슨선’, ‘심슨 정리’가 쓰입니다. 적분값을 근사하는 Simpson’s rule은 보통 ‘심프슨 공식·심프슨 적분’으로 부르며 이 정리와 관계없습니다.

왜 세 수선의 발이 한 직선에 놓이는가

아래는 유향각을 이용한 핵심 증명 요약입니다. 모든 각은 180°를 법으로 한 유향각이며, D∈BC, E∈CA, F∈AB는 각 변의 직선 위라는 뜻으로 연장선도 포함합니다.

1. PD⊥BC이고 PE⊥CA이므로 ∠PDC=∠PEC=90°. 따라서 네 점 P, D, C, E는 한 원 위에 있습니다.
2. 같은 원의 원주각과 E∈CA를 이용하면 ∠PDE=∠PCE=∠PCA입니다.
3. 마찬가지로 P, D, B, F가 한 원 위에 있으므로 ∠PDF=∠PBF=∠PBA입니다.
4. P, A, B, C가 외접원 위에 있으면 같은 현 PA를 보는 유향각이 같아 ∠PCA=∠PBA입니다. 따라서 ∠PDE=∠PDF이고 D, E, F는 공선입니다. 이 논리를 거꾸로 적용하면 역도 얻습니다.

도구가 수선발과 공선성 잔차를 계산하는 법

무한직선에 내린 정사영

직선 UV에 P를 정사영한 점 Q는 아래 식으로 구합니다. t가 0과 1 사이면 선분 UV 위이고, 범위를 벗어나면 연장선 위입니다.

공선성 잔차

D·E·F 중 가장 멀리 떨어진 두 점을 잇는 직선을 기준으로 남은 한 점의 수직거리 d를 구하고, 외접반지름 R로 나눈 ε=d/R을 표시합니다. 이 값은 화면 배율과 무관한 대조 지표입니다.

좌표 예제: θ=0°에서 직접 검산

도구의 고정 삼각형은 A=(0,3), B=(−3,−2), C=(3,−2)입니다. 외심은 O=(0,−0.4), 외접반지름은 R=3.4입니다. θ=0°이면 P=(3.4,−0.4)입니다.

세 점 모두 x+y=1.4를 만족하므로 이때의 심슨선은 x+y=1.4입니다. D가 선분 BC 밖에 있어도 BC의 연장선 위 수선발이므로 정리에 포함됩니다.

외접원 위와 원 밖을 비교해야 하는 이유

원 밖 대조는 반례 하나를 보여 주는 기능입니다. 원 밖의 모든 점에서 잔차가 같은 크기가 되는 것은 아니며, 역정리의 증명 자체를 대신하지 않습니다.

계산 범위와 한계

삼각형은 하나로 고정되어 있다

시각적 변수를 줄이기 위해 A, B, C는 고정했습니다. 심슨 정리는 특정 모양의 삼각형에만 적용되는 정리가 아니며, 세 점이 일직선인 퇴화 삼각형은 제외합니다.

잔차는 수치 검산값이지 증명이 아니다

브라우저는 유한 정밀도 소수를 사용합니다. 외접원 위에서도 0 대신 약 10⁻¹⁶ 수준의 값이 계산될 수 있어 10⁻¹²보다 작으면 ‘공선 확인’으로 표시합니다.

특수 위치에서는 두 수선발이 겹칠 수 있다

P가 삼각형의 꼭짓점과 일치하면 두 수선발이 그 꼭짓점에서 겹칩니다. 남은 발과 함께 여전히 심슨선의 극한적 경우를 이루지만, 직각 표시는 일부 생략될 수 있습니다.

심슨 정리·심슨선 자주 묻는 질문