%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %이 화일에 수록된 수학문제와 글에 대한 저작권은 대한수학회에 있습니다.% %개인적인 사용만 허용되어 있습니다. % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \documentclass[10pt]{article} \usepackage{hangul} \usepackage{amstex} \usepackage{amssymb} \usepackage{ctfonts} \begin{document} \begin{center} \Large{1994년 최종대표선발시험 \\ Final Round} \end{center} \vskip 0.5 true cm \begin{center} \Large{제 1 일} \end{center} \vskip 0.3 true cm \hfill{1994. 4. 16.} \vskip 0.3 true cm \begin{enumerate} \item[1.] 음이 아닌 정수의 집합을 $S$라 할 때, 다음 두 조건을 만족시키는 함수 $$f : S\to S, \ g: S\to S, \ h: S\to S$$ 를 모두 구하여라. (i) 임의의 $m, n\in S$에 대하여 $$f(m+n)=g(m)+h(n)+2mn$$ (ii) $g(1)=h(1)=1$. \medskip \item[2.] 임의의 삼각형의 세 내각의 크기를 $\alpha, \beta, \gamma$라 할 때 $$csc^2 \frac{\alpha}2 +csc^2\frac {\beta}2+csc^2\frac{\gamma}2\geq 12$$ 임을 증명하고, 등호가 성립하는 경우를 찾아라. \medskip \item[3.] 삼각형 $ABC$의 내심을 $I$, 외심을 $O$, 외접원의 반지름을 $R$ 라 하고, 세 개의 방심을 $A', B', C'$이라 한다. 삼각형 $A'B'C'$의 외심을 $O'$, 외접원의 반지름을 $R'$이라 할 때 다음을 증명하여라. $$\mbox{(i)} \quad R'=2R\qquad \quad \mbox{(ii)}\quad \overline{IO'}= 2 \overline{IO}$$ \end{enumerate} \newpage \begin{center} \Large{제 2 일} \end{center} \vskip 0.3 true cm \hfill{1994. 4. 17.} \vskip 0.3 true cm \begin{enumerate} \item[4.] 어떤 정수 $k$에 대해서도 방정식 $y^2-k=x^3$은 다음 5개의 정수해 $$(x_1, y_1), \ (x_2, y_1-1), (x_3, y_1-2), (x_4, y_1-3), (x_5, y_1-4)$$ 를 가질 수 없음을 보이고, 만일 4개의 정수해 $$(x_1, y_1), \ (x_2, y_1-1), \ (x_3, y_1-2), \ (x_4, y_1-3)$$ 를 가지면 $k\equiv 17$ (mod. 63) 임을 밝혀라. \medskip \item[5.] $\mathbb N$을 자연수의 집합이라고 하자. $S\subset \mathbb N$인 집합 $S$와 $n\in \mathbb N$에 대하여 집합 $S\oplus \{n\}$을 $S\oplus \{n\} =\{s+n | s\in S\}$로 정의한다. 집합 $S_k$를 \begin{eqnarray*} S_1 & = & \{1\}\\ S_k & = & (S_{k-1} \oplus \{k\}) \cup \{2k-1\}\quad (k=2, 3, 4\cdots ) \end{eqnarray*} 라 할 때, (i) $\mathbb N-\cup_{k=1}^{\infty} S_k$를 구하여라. (ii) $1994 \in S_n$ 인 $n$을 모두 구하여라. \medskip \item[6.] 삼각형 $ABC$에 대하여 다음 물음에 답하여라. (i) $\cos^2 A+\cos^2 B+\cos^2 C=1-2\cos A\cos B\cos C$임을 증명하여라. (ii) $\cos A : \cos B : \cos C = 39:33:25$ 일 때 $\sin A : \sin B : \sin C$ 를 구하여라. \end{enumerate} \end{document}