%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %이 화일에 수록된 수학문제와 글에 대한 저작권은 대한수학회에 있습니다. %개인적인 사용만 허용되어 있습니다. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \documentclass[10pt]{article} \usepackage{hangul} \usepackage{amstex} \usepackage{amssymb} %\usepackage{emlines2.sty} \usepackage{ctfonts} \begin{document} \begin{center} \Large{1992년 최종대표선발시험 \\ Final Round} \end{center} \vskip 0.5 true cm \begin{center} \Large{제 1 일} \end{center} \vskip 0.3 true cm \hfill{1992. 4. 18.} \vskip 0.3 true cm \begin{enumerate} \item[1.] $x_0$ 를 홀수인 자연수라고 하고, $x_i=\frac{3x_{i-1} + 1}{2} (i=1,2, \cdots)$ 라고 정의할 때, $x_n$ 이 짝수가 되는 자연수 $n$ 이 존재함을 보여라. \medskip \item[2.] 양의 수열 $a_1, a_2, a_3, \cdots $ 이 $$a_1 + a_2 + \cdots + a_n \le \frac{a_{n+1}}{2}$$ 을 만족시킨다고 한다. 모든 자연수 $n$ 에 대하여 $$\sqrt{a_1} + \sqrt{a_2} + \cdots + \sqrt{a_n} \le C \sqrt{a_1 + a_2 + \cdots + a_n}$$ 를 만족시키는 최소의 상수 $C$ 의 값을 구하여라. \medskip \item[3.] 좌표 평면에서 꼭지점의 좌표가 모두 정수이고 각 변의 길이가 모두 정수인 삼각형들의 집합을 $T$ 라고 한다. $ \ \ T$ 에 속하는 임의의 이등변 삼각형은 $T$ 에 속하는 두 개의 서로 합동인 직각 삼각형을 붙여 놓은 것임을 보여라. \end{enumerate} \bigskip \begin{center} \newpage \Large{제 2 일} \end{center} \vskip 0.3 true cm \hfill{1992. 4. 19.} \vskip 0.3 true cm \begin{enumerate} \item[4.] $f(x) =x + x^2 + x^3 + \cdots $ 에 대하여, 정수 수열 $a_1, a_2, a_3, \cdots$ 가 $$x=a_1 f(x) + a_2 f(x^2) + a_3 f(x^3) + \cdots$$ 를 만족시킨다고 할 때, $r$ 과 $s$ 가 서로 소이면 $a_{rs} =a_r a_s$ 임을 보이고, $a_{1992}$ 를 구하라. \medskip \item[5.] 자연수 $n$ 에 대하여 $I_n = \{1, 2, \cdots, n \}$ 이라고 하자. 임의의 소수 $p \in I_n$ 에 대하여 원소의 개수가 $n - [n/p] + 1$ 인 임의의 $I_n$ 의 부분집합 $S$ 에는 $a \ \vert \ b$ 를 만족시키는 두 원소 $a, b$ 가 존재함을 보여라. 단, $[x]$ 는 $x$ 를 넘지 않는 최대의 정수이다. \medskip \item[6.] 원점 $O$ 를 중심으로 하는 원 $w$ 위에 두 점 $A_1, A_2$ 가 주어져 있고, 선분 $OA_1, OA_2$ 를 지름으로 하는 원을 각각 $w_1, w_2$ 라고 한다. 원 $w$ 와 점 $P$ 에서 외접하고, $A_1, A_2$ 에서 원 $w$ 에 그은 접선에 각각 점 $B_1, B_2$ 에서 접하는 원을 $w^{\prime}$ 이라고 한다. 선분 $OB_1, OB_2$이 원 $w_1, w_2$ 와 만나는 점을 각각 $Q, R$ 이라고 할 때, 세 점 $P, Q, R$ 을 지나는 원은 원 $w$ 에 내접하고 원 $w_1, w_2$에 외접함을 보여라. \end{enumerate} \end{document}