%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %이 화일에 수록된 수학문제와 글에 대한 저작권은 대한수학회에 있습니다.% %개인적인 사용만 허용되어 있습니다. % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \documentclass[10pt]{article} \usepackage{hangul} \usepackage{amstex} \usepackage{amssymb} \usepackage{ctfonts} \begin{document} \begin{center} \Large{1991년 최종대표선발시험 \\ Final Round} \end{center} \vskip 0.5 true cm \begin{center} \Large{제 1 일} \end{center} \vskip 0.3 true cm \hfill{1991. 4. 20.} \vskip 0.3 true cm \begin{enumerate} \item[1.] 수열 $\{a_n\}$의 각항은 서로 다른 자연수라 한다. $$S_n = \frac 1{1+a_1} + \frac a{(1+a_1)(1+a_2)}+\cdots + \frac{a_1 a_2 \cdots a_{n-1}}{(1+a_1)(1+a_2) \cdots (1+a_n)}$$ 이라 할 때 $$\frac{1990}{1991} < S_n < 1$$ 을 만족시키는 최소의 $n$과 이에 대한 수열 $\{a_n\}$을 구하여라. \medskip \item[2.] $n$은 4이상의 자연수이고, 자연수 전체의 집합 $N$의 부분집합 $H$ 가 다음 조건을 만족시키고 있다. (1) $H$는 덧셈에 대하여 닫혀 있다. (2) $N-H$는 $n$개의 원소를 갖고 있다. (3) $H$의 최소 원소는 3이다. 이 때, 3과 서로 소이면서 $n$이하인 자연수는 $H$의 원소가 될 수 없음을 증명하여라. \medskip \item[3.] 서로 다른 네 개의 실수 중에는 $$0< \frac{(a-b)}{1+ab} <\sqrt 3$$ 을 만족시키는 두 개의 실수 $a, b$가 반드시 존재함을 증명하여라. \end{enumerate} \newpage \begin{center} \Large{제 2 일} \end{center} \vskip 0.3 true cm \hfill{1991. 4. 21.} \vskip 0.3 true cm \begin{enumerate} \item[4.] $x$는 실수이고 $f(x)=\max (0, 1-|x|)$에 대하여 $g(x)=\sum\limits_{k=0}^\infty 2^k f(x-2k)$ 라 한다. $a_n = \max\limits_{-n\le x\le n} g(x)$ 라 할 때 $$\frac 14 < \sum_{n=1}^\infty \frac{2^{-n} a_n}{1+a_n} < \frac 54$$ 임을 증명하여라. \medskip \item[5.] 자연수 $k$에 대하여 $d(k)$를 $k$의 양의 약수의 개수라고 할 때, 임의의 자연수 $n$에 대하여 $$d(1)+d(2)+\cdots +d(n)=\Big[\frac n1\Big]+\Big[\frac n2\Big]+\cdots + \Big[\frac nn\Big]$$ 임올 증명하여라. 단. $[x]$는 $x$를 넘지 않은 최대의 정수이다. \medskip \item[6.] 삼각형 $ABC$의 수심을 $H$, 무게 중심을 $G$, 외접원의 반지름을 $R$, 세 변의 길이를 $a, b, c$라 할 때 다음에 답하여라. (1) $\overrightarrow{AG}\cdot \overrightarrow{AH}+\overrightarrow{BG} \cdot\overrightarrow{GH}+\overrightarrow{CG}\cdot\overrightarrow{CH}= \frac 13 (a^2+b^2+c^2)$임을 증명하여라. (2) $\overline{GH}^2$을 $R$과 $a, b, c$로 나타내어라. \end{enumerate} \end{document}