%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %이 화일에 수록된 수학문제와 글에 대한 저작권은 대한수학회에 있습니다.% %개인적인 사용만 허용되어 있습니다. % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \documentclass[10pt]{article} \usepackage{hangul} \usepackage{amstex} \usepackage{amssymb} \usepackage{ctfonts} \begin{document} \begin{center} \Large{1989년 최종대표선발시험 \\ Final Round} \end{center} \vskip 0.5 true cm \begin{center} \Large{제 1 일} \end{center} \vskip 0.3 true cm \hfill{1989. 4. 22.} \vskip 0.3 true cm \begin{enumerate} \item[1.] 다음 부등식을 증명하여라. (1) $\frac {43}{44} < \frac 1{\sqrt 2+2}+\frac 1{2\sqrt 3+3\sqrt 2}+ \cdots +\frac 1{1988\sqrt{1989}+1989\sqrt{1988}} < \frac {44}{45}$ (2) $\frac {1\cdot 3\cdot 5\cdots (2n-1)}{2\cdot 4\cdot 6\cdots (2n)} < \frac 1{\sqrt {2n}}\qquad (n\ge 1)$. \medskip \item[2.] $0<\alpha_i < \frac {\pi}2\ (i=1, 2, \cdots , n)$ 이고, $ \sum\limits_{i=1}^n \alpha_i =\alpha$(일정) 이라 할 때 다음 식의 최대값을 구하여라. $$\left(\sum_{i=1}^n \sin \alpha_i\right)\left(\prod_{i=1}^n \sin \alpha_i \right).$$ \medskip \item[3.] $f(x)=|x^2-1|\ (x$\ 는 실수), $f^{(2)} (x)=f\circ f(x)=f\{f(x)\}$, $f^{(n)} (x)=f(f^{(n-1)}(x))\quad (n=1, 2, \cdots )$ 이라 한다. (1) 임의의 자연수 $n$에 대하여 $f^{(n)} (x)=0$ 의 근과 $f^{(n)}(x)=1$ 의 근을 크기 순으로 나열하면 두 방정식의 근이 교대로 배열됨을 밝혀라. (2) 모든 자연수 $n$에 대하여 $f^{(n)} (x)=0$의 근과 $f^{(n)} (x)=1$ 의 근을 모두 포함하는 최소의 개구간을 구하여라. \end{enumerate} \bigskip \begin{center} \Large{제 2 일} \end{center} \vskip 0.3 true cm \hfill{1989. 4. 23.} \vskip 0.3 true cm \begin{enumerate} \item[4.] 자연수 $n$에 대하여 $(45 +\sqrt{1989})^n$의 정수부분은 홀수임을 밝혀라. \medskip \item[5.] 원 $O$에 내접하는 정 $(2n+1)$각형의 꼭지점을 차례로 $A_1, A_2, \cdots , A_{2n+1}$이라 한다. 호 $\frown{A_1A_{2n+1}}$위의 임의의 점 $P$에 대하여 $$\sum_{k=1}^{2n+1} (-1)^k \overline{PA_k}=0$$ 임을 증명하여라. \medskip \item[6.]. 세 변의 길이가 각각 $a, b, c$인 $\triangle ABC$의 중심을 $G$, 내심을 $I$, 내접원의 반지름의 길이를 $r$이라 할 때, 다음 물음에 답하여라. (1) $\overline{GI}^2 = r^2 + f(a, b, c)$ 이라 할 때, $a, b, c$에 관한 이차식 $f(a, b, c)$를 구하여라. (2) 중심 $G$가 내접원 위에 있을 때 \null\quad (i) $a\ge b\ge c$라 하고 $\frac ac$의 최대값을 구하여라. \null\quad (ii) 세 변의 길이가 정수인 삼각형의 예를 하나 들어라. \end{enumerate} \end{document}