%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %이 화일에 수록된 수학문제와 글에 대한 저작권은 대한수학회에 있습니다.% %개인적인 사용만 허용되어 있습니다. % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \documentclass[10pt]{article} \usepackage{hangul} \usepackage{amstex} \usepackage{amssymb} \usepackage{ctfonts} \begin{document} \begin{center} \Large{\slshape 제 8회 한국 수학 올림피아드 \\ Korean Mathematical Olympiad } \end{center} \hfill{1994. 11. 13.} \vskip 1 true cm \begin{center} \Large{\slshape 오전문제} \end{center} \vskip 0.3 true cm \begin{enumerate} \item[1.] 평면 위의 유한개의 점 중 임의의 세 점을 택하여 이들을 꼭지점으로 하는 삼각형을 만들면 그 넓이는 항상 1 이하이다. 이 때, 이 유한개의 점은 모두 넓이가 4 보다 크지 않는 삼각형의 내부 또는 경계에 놓여 있음을 보여라. \medskip \item[2.] 주어진 양의 정수 $m$에 대하여 $m, n$이 서로 소이고 $$(x^2+y^2)^m=(xy)^n$$ 을 만족시키는 자연수들의 쌍 $(n, x, y)$를 모두 구하여라. $(단, n, x,y$를 $m$ 의 함수로 나타내어라.) \medskip \item[3.] 원에 내접하고 있는 삼각형 $ABC$가 있다. 호 $BC, CA, AB$의 중점을 각각 $P, Q, R$이라 하고 선분 $AP, BQ, CR$이 변 $BC, CA, AB$와 만나는 점을 각각 $L, M, N$이라 하자. 이 때 $$\frac{AL}{PL}+\frac{BM}{QM}+\frac{CN}{RN}\geqq 9$$ 임을 보여라. 또 등호가 성립하는 것은 어떤 경우인가 ? \medskip \item[4.] 어떤 자연수 $n$에 대하여 $\lambda_1+ \lambda_2+\cdots +\lambda_k =n$ 이고, $\lambda_1\geqq \lambda_2\geqq \cdots \geqq \lambda_k\geqq 1$을 만족시키는 자연수열 $(\lambda_1, \lambda_2, \cdots , \lambda_k)$를 $n$의 분할이라 하고, 각각의 $\lambda_i$를 부분이라고 한다. 예를들면 (4, 3, 1)은 세 부분이 모두 다른 8의 한 분할이다. 자연수 $m$에 대하여 $n>\frac 12 m(m+1)$일 때, $m$ 부분이 모두 다른 $n$의 분할의 총수는 $m$ 이하의 부분을 갖는 $n-\frac 12m (m+1)$의 분할의 총수와 같음을 보여라. \end{enumerate} \bigskip \begin{center} \Large{\slshape 오후문제} \end{center} \vskip 0.3 true cm \begin{enumerate} \item[5.] 주어진 원 둘레 위에 임의로 세 점을 잡았을 때, 이 세 점이 반원주 위에 있을 확률을 구하여라. \medskip \item[6.] $n>1$인 모든 자연수 $n$은 2 또는 3 이외의 인수를 갖지않고, 어느 두 수도 서로 약수 또는 배수가 아닌 수들의 유한개의 합으로 나타낼 수 있음을 보여라. 즉, $i\ne j$ 일 때 음이 아닌 정수 $\alpha_i, \alpha_j, \beta_i, \beta_j$에 대하여 $(\alpha_i-\alpha_j)(\beta_i-\beta_j)<0$이고 $n=\sum\limits_{i=1}^N 2^{\alpha_i} 3^{\beta_i}$이다. \medskip \item[7.] 0을 제외한 모든 실수에서 정의되고, 실수값을 취하는 함수 $f$가 $$\frac 1x f(-x) + f(\frac 1x)=x, \qquad x\ne 0$$ 를 만족시킨다. 이러한 $f(x)$를 모두 구하여라. \item[8.] 반지름의 길이가 각각 $r_1, r_2 (r_1