%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %이 화일에 수록된 수학문제와 글에 대한 저작권은 대한수학회에 있습니다.% %개인적인 사용만 허용되어 있습니다. % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \documentclass[10pt]{article} \usepackage{hangul} \usepackage{amstex} \usepackage{amssymb} \usepackage{ctfonts} \begin{document} \begin{center} \Large{\slshape 제 7회 한국 수학 올림피아드 \\ Korean Mathematical Olympiad \\ 1993} \end{center} \vskip 0.5 true cm \begin{center} \Large{오전문제} \end{center} \vskip 0.3 true cm \begin{enumerate} \item[1.] 길이가 1인 막대를 이어서 만든 정육면체들을 붙여서 가로, 세로, 높이가 각각 $\l, m, n$인 직육면체를 만들었다. 다음 물음에 답하여라. (1) 이들 구조물 속에 직육면체는 몇 개 있는가? (정육면체 포함) \medskip \fbox{착안점} 직육면체를 쉽게 만드는 방법을 생각 (2) 위 그림의 꼭지점 $A$에서 $B$까지 막대를 따라서 최단 거리로 갈 수 있는 방법의 수 $S$를 구하여라. (내부도 통과) (3) $l=m=n$일 때 (2)에서 구한 $S$는 3의 배수임을 보여라. \medskip \item[2.] $a, b, c, d$는 자연수이고 $r=1-\frac ab-\frac cd$이라 할 때, $a+c\leqq 1993$ 이고 $r>0$ 이면 $r>\frac 1{1993^3}$임을 보여라. \fbox{착안점} $b, d$의 범위를 여러 경우로 나누어 생각 \medskip \item[3.] $2^{2^n}+5$가 소수가 될 모든 음이 아닌 정수 $n$을 구하여라. \fbox{착안점} $n$이 짝수일 경우, 홀수일 경우로 나누어 조사해 본다. \medskip \item[4.] 음이 아닌 임의의 정수 $m, n$에 대하여, 다음 두 조건을 만족시키는 함수 $f(m, n)$을 구하여라. (i) $2f(m, n) = 2+f(m+1, n-1)+f(m-1, n+1) \ \ (m\geqq 1, n\geqq 1)$ (ii) $f(m, 0)=f(0, n)=0\ \ (m\geqq 0, \ n\geqq 0)$ \fbox{착안점} 점화식으로 주어진 수열의 합을 구하는 경우와 비슷하게 생각해 본다. \medskip \item[5.] 정사각형 $ABCD$ 안에 임의의 한 점 $P$를 잡고, 네 점 $A, B, C, D$에서 직선 $BP, CP, DP, AP$에 그은 수선을 각각 $\ell_1, \ell_2, \ell_3, \ell_4$라 한다. 네 직선 $\ell_1, \ell_2, \ell_3, \ell_4$는 한점에서 만남을 증명하여라. \fbox{착안점} 회전변환을 생각해 본다. \end{enumerate} \bigskip \begin{center} \Large{\slshape 오후문제} \end{center} \vskip 0.3 true cm \begin{enumerate} \item[1.] 가로, 세로의 길이가 $m, n(m, n$은 양의 정수)인 직사각형 $ABCD$가 있다. 꼭지점 $A$에서 두 변에 대하여 $45^\circ$인 방향으로 발사된 빛이 변에서 정반사하여 진행하다가 꼭지점에 도달하면 멈춘다고 한다. 변에서 반사하는 횟수를 $f(m, n)$이라 할 때 다음 물음에 답하여라. (1) $m, n$이 서로 소일 때 $f(m, n)$을 구하여라. \fbox{착안점} 직사각형 $ABCD$로 큰 정사각형을 만든다. \medskip (2) $\frac{m'}m=\frac{n'}n$이면 $f(m', n')=f(m, n)$임을 밝혀라. \fbox{착안점} 닮음을 이용한다. \medskip \item[2.] 양의 정수 $x, y, z$에 대하여 $f(x, y, z)=1+2+3+\cdots +(x+y-2)-z$라 한다. $$f(a, b, c)=f(c, d, a)=1993$$ 을 만족시키는 양의 정수 $a, b, c, d$의 모든 짝을 구하여라. \fbox{착안점} $a=c, b=d$임을 보인다. \medskip \item[3.] $0\leqq x\leqq 1$인 실수 $x$중에서, 3진법의 소수로 나타내었을 때, 각 자리의 수 0 또는 2만으로 된 전체의 집합을 $K$라 하자. $$S=\{x+y\ |\ x, y \in K\} \ \mbox{라 하면}\ S=\{z\ |\ 0\leqq z\leqq 2\}\ \mbox{임을 보여라.}$$ \fbox{착안점} $\frac x2, \frac y2$를 생각한다. \medskip \item[4.] 임의의 삼각형에서 둘레의 길이를 $L$, 세 중선의 길이의 합을 $M$이라 할 때 $\frac ML > \frac 34$임을 증명하여라. \fbox{착안점} 벡터로 생각해보자. \medskip \item[5.] $C_0, C_1, C_2, \cdots $들을 다음과 같이 정의된 평면상의 원들의 수열이라 하자. (i) $C_0$은 원 $x^2+y^2=1$ 이다. (ii) $n=0, 1, 2, \cdots $에 대하여 원 $C_{n+1}$은 $y\geqq 0$인 평면위에 있고, 원 $C_n$과 외접하고 쌍곡선 $x^2-y^2=1$과 두 점에서 접한다. $r_n$을 원 $C_n$의 반지름이라 할 때, $r_n$은 정수임을 보이고, $r_n$을 구하여라. \fbox{착안점} 원 $C_n$의 방정식 : $x^2+(y-a_n)^2=r_n^2$ \end{enumerate} \end{document}