%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %이 화일에 수록된 수학문제와 글에 대한 저작권은 대한수학회에 있습니다.% %개인적인 사용만 허용되어 있습니다. % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \documentclass[10pt]{article} \usepackage{hangul} \usepackage{amstex} \usepackage{amssymb} \usepackage{ctfonts} \begin{document} \begin{center} \Large{\slshape 제 5회 한국 수학 올림피아드 \\ Korean Mathematical Olympiad \\ 1991} \end{center} \vskip 0.5 true cm \begin{center} \Large{오전문제} \end{center} \vskip 0.3 true cm \begin{enumerate} \item[1.] 정수계수의 1990차 다항식 $f(x)$에 대하여 방정식 $\{f(x)\}^2=1$ 의 서로 다른 정수해의 개수는 1992개 이하임을 보여라. \fbox{착안점} $f(x)-1=0, \ f(x)+1=0$ 각각의 근을 $x_1, \cdots , x_m, \ y_1\cdots , y_n$라 하고 $m+n\leqq 1992$임을 보인다. \medskip \item[2.] 유리수 전체의 집합 $Q$의 공집합이 아닌 부분집합 $S$가 다음 조건을 만족시키고 있다. (i) $0\not\in S$ (ii) $s_1, s_2\in S$ 이면 $\displaystyle \frac{s_1}{s_2}\in S$이다. (iii) $0\ne q \not\in S$인 유리수 $q$가 존재하여 $Q-S=\{qs \ |\ s \in S\}$이 성립한다. 이 때 $x\in S$이면 $x=y+z$인 $y, z$가 $S$에 존재함을 보여라. \fbox{착안점} 임의의 유리수의 제곱이 $S$에 속하게 됨을 보이면 된다. \medskip \item[3.] $AB=AC$인 이등변 삼각형 $ABC$에서 변 $BC$의 중점을 $D$라 한다. $\angle ABC$의 삼등분선이 $AD$와 만나는 점을 $A$로부터 차례대로 $M, N$ 이라하고, $CN$의 연장과 $AB$의 교점을 $E$라 하면 $EM//BN$임을 증명하여라. \fbox{착안점} $\square EBCM$은 동일 원주위에 있다. \medskip \item[4.] 임의로 주어진 자연수 $k$에 대하여 집합 $$\mathbb N^k = \{(x_1, x_2, \cdots , x_k)\ |\ x_1, x_2, \cdots , x_k\in \mathbb N\}$$ 을 생각하자. (단, 여기서 $\mathbb N$은 자연수 전체의 집합이다.) $\mathbb N^k$의 원소 $x=(x_1, x_2, \cdots , x_k), \quad y=(y_1, y_2, \cdots , y_k)$에 대하여 \noindent $x_i\leqq y_i, \quad (i=1, 2, \cdots , k)$일 때 $x\leqq y$라고 정의한다. $X$를 $\mathbb N^k$의 임의의 부분집합이라고 하고, $x\in X$에 대하여 $m(x)$를 $X$의 원소로서 $x$보다 작거나 같은 원소의 개수라고 할 때 집합 $M(X)=\{x\in X\ |\ m(x)=1\}$이 유한집합임을 보여라. \fbox{착안점} 수학적 귀납법 사용 \medskip \item[5.] (1) $\sum^n\limits_{m=k} \binom mk = \binom {n+1}{k+1}$임을 증명하여라. \fbox{착안점} $\frac{m!}{(m-k)!}=\frac 1{k+1} \bigl\{(m-k+1) \cdots (m+1) -(m-k)\cdots m \bigr\}$ \medskip (2) $\frac 1{1991} \binom{1991}0 -\frac 1{1990}\binom{1990}1 + \frac 1{1989}\binom{1989}2-\cdots $ $\cdots +\frac{(-1)^m}{1991-m}\binom{1991-m}{m}+\cdots -\frac 1{996} \binom{996}{995}=\frac 1{1991}$ 임을 증명하여라 \fbox{착안점} $\begin{cases} S(n)= \sum\limits_{m=0}^{[\frac n2]} (-1)^m \binom{n-m}{m}\\ S(n+1) =S(n)-S(n-1)\\ \frac n{n-m}\binom{n-m}{m}=\binom{n-m}{m}+\binom{n-m-1}{m-1} \end{cases}$ \end{enumerate} \end{document}