%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %이 화일에 수록된 수학문제와 글에 대한 저작권은 대한수학회에 있습니다. % %개인적인 사용만 허용되어 있습니다. % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \documentclass[10pt]{article} \usepackage{hangul} \usepackage{amstex} \usepackage{amssymb} \usepackage{ctfonts} \begin{document} \begin{center} \Large{\slshape 제 4회 한국 수학 올림피아드 \\ Korean Mathematical Olympiad \\ 1990} \end{center} \vskip 0.5 true cm \begin{center} \Large{\slshape 오전문제} \end{center} \vskip 0.3 true cm \begin{enumerate} \item[1.] $\prod\limits_{k=1}^n k$가 $\sum\limits_{k=1}^n k$로 나누어지는 $n$을 구하여라. \medskip \item[2.] $n$개의 집합 $A_1, A_2, \cdots , A_n$은 각각 30개의 원소를 가지고 있으며, 이들 중 임의의 서로 다른 두 집합 $A_i, A_j$는 단 한개의 공통원소를 갖고, $A_1\cap A_2\cap \cdots \cap A_n=\phi$(공집합)이라 한다. 이 때 $n<872$임을 밝혀라. \fbox{착안점} $n\geqq 872$이면 어떤 원소 $a\in A_1$은 31개 이상의 집합에 속함을 보이자. \medskip \item[3.] 여러가지 크기의 정사각형 모양의 카드들을 바닥에 늘어 놓았다. 이 카드들로 덮인 부분의 전체 면적을 $S$라 하자. 이들 카드 중에서 제일 큰 카드 $A_1$을 고르고 $A_1$과 서로 겹쳐 있지 않는 카드 중에서 가장 큰 카드 $A_2$를 고른다. 다음에 $A_1, A_2$와 겹쳐있지 않는 카드 중에서 제일 큰 카드 $A_3$를 고른다. 이와같은 방법으로 끝까지 계속하여 $n$개의 카드 $A_1, A_2, \cdots , A_n$을 골랐다면 이들 카드들의 면적의 합은 $\frac 1{13}S$보다 큼을 밝혀라. \fbox{착안점} 카드 한장에 겹쳐 있을 수 있는 면적을 계산해 보고 전체면적을 구해보자. \medskip \item[4.] $1\leqq k\leqq 90$인 자연수 $k$에 대하여 $$f(k) = \begin{cases} 2k & (1\leqq k\leqq 45\ \mbox{일때})\\ 2k-91\quad & (46\leqq k\leqq 90\ \mbox{일때}) \end{cases}$$ 으로 정의하면 $f\ :\ \{1, 2, \cdots , 90\} \to \{ 1, 2, \cdots , 90\}$은 전단사함수가 된다. 이때 $f$를 $n$번 합성한 함수 $f^n$이 항등함수가 되는 최소의 양의 정수 $n$을 구하여라. \fbox{착안점} $\{1, 2,\cdots , 90\}$을 91등분한 단위원주 위의 점이라 생각해 보자. \medskip \item[5.] 각 변의 길이가 자연수이고 내접원의 반지름의 길이가 1인 삼각형의 각 변의 길이를 구하여라. \fbox{착안점} 등식을 유도한 후 각 변의 길이가 자연수라는 점을 이용해 보자. \end{enumerate} \bigskip \begin{center} \Large{\slshape 오후문제} \end{center} \vskip 0.3 true cm \begin{enumerate} \item[1.] 각 자리수에 9를 포함하지 않는 모든 자연수의 역수의 합은 28보다 작음을 밝혀라. \medskip \item[2.] 집합 $X=\{1990, 1990+1, 1990+2, \cdots , 1990+n\}$를 두 개의 부분집합 $A, B$로 나누어 $A\cap B=\phi, \ A\cup B=X$되게 한다. 이 때 $A, B$에 속하는 원소들의 합을 같게 할 수 있는 양의 정수 $n$의 값을 정하여라. \fbox{착안점} $X$를 같은 갯수의 두집합으로 나누도록 해본다. 만일 $n=2k+1$이면 $k, k+1$개로 나누고 합이 같아지도록 해본다. \medskip \item[3.] 좌표평면의 원점을 출발한 점이 이 평면위에서 운동을 한다. $x$축을 따라서 움직일 때는 운동방향으로 $2m/sec$의 속력으로 움직이고 $x$축과 다른 방향으로 움직일 때는 $1m/sec$의 속력으로 움직인다. 이 점이 원점을 출발하여 1초 동안에 도달할 수 있는 최대의 영역을 좌표평면위에 도시하고 이 영역의 넓이를 구하여라. \fbox{착안점} 점이 $x$축을 운동한 시간을 기준으로 식을 만들어 보자. \medskip \item[4.] 세 변의 길이가 서로 다른 삼각형 $ABC$에서 무게중심, 내심 및 수심을 각각 $G, K, H$라 한다. $\angle GKH>90^\circ$임을 증명하여라. \medskip \item[5.] $a_i > 0\quad (i=1, 2, \cdots , n)$ 일때 $$ \frac{a_1}{a_2+a_3+\cdots +a_n} +\frac{a_2}{a_1+a_3+\cdots +a_n} + $$ $$ \cdots +\frac{a_i}{a_1+a_2+\cdots +a_{i-1}+a_{i+1}+\cdots +a_n}+ $$ $$ \cdots +\frac{a_n}{a_1+a_2+\cdots +a_{n-1}} \geqq \frac n{n-1} $$ 임을 증명하여라. \end{enumerate} \end{document}