%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %이 화일에 수록된 수학문제와 글에 대한 저작권은 대한수학회에 있습니다. % %개인적인 사용만 허용되어 있습니다. % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \documentclass[10pt]{article} \usepackage{hangul} \usepackage{amstex} \usepackage{amssymb} \usepackage{ctfonts} \begin{document} \begin{center} \Large{제 2회 한국 수학 올림피아드\\ Korean Mathematical Olympiad\\ (1988)} \end{center} \vskip 0.3 true cm \begin{center} \Large{오전문제} \end{center} \vskip 0.3 true cm \begin{enumerate} \item[1.] 두 자연수 $a=11, 111, 111$ 과 $\underbrace{b=11, 111, \cdots , 111}_{ 1 \mbox{이}\ \mbox{1988개}}$의 최대공약수를 구하여라. \medskip \item[2.] $n$은 홀수이고 $a_1, a_2, \cdots , a_n$은 1에서 $n$까지의 서로 다른 자연수라 할 때 $$(a_1-1)(a_2-2)\cdots (a_n-n)$$ 은 짝수임을 증명하여라. \medskip \item[3.] 삼각형 $ABC$에서 $$\sin A+ \sin B+\sin C=1+\cos A+\cos B+\cos C$$ 가 성립하면 이 삼각형은 직각삼각형임을 증명하여라. \fbox{착안점} 삼각함수의 여러 공식을 잘 이용해 정리한 후 직각삼각형임을 이용해 보자. \medskip \item[4.] 한변의 길이가 1인 정삼각형 안에 아홉개의 점을 임의로 잡았을 때 그들 중 적어도 세 점은 면적이 $\frac 18$ 이하인 삼각형의 꼭지점이 됨을 밝혀라. (단, 어느 세점도 한 직선 위에 있지 않다고 한다.) \fbox{착안점} 비둘기집의 원리를 이용한다. \medskip \item[5.] 다음 등식이 성립함을 증명하여라. $${}_nC_1\frac 11-{}_nC_2\frac 12+\cdots +(-1)^{n-1} {}_nC_n \frac 1n=1+\frac 12+\frac 13+\cdots +\frac 1n$$ \fbox{착안점} $\sum\limits_{k=0}^n (-1)^k {}_nC_k \frac 1{k+1}= \frac 1{n+1}$을 이용할 수도 있다. \medskip \item[6.] 좌표평면위에 아래 그림과 같이 한 변의 길이가 1인 정사각형 $ABCD$가 있다. 점 $P$가 점 $A(0, 1)$을 출발하여 점 $(a, 0)$으로 직선운동을 시작하였다. 점 $P$가 사각형의 어느 한 변에 도달하면 정반사(입사각과 반사각이 같음)를 하여 운동을 계속한다고 할 때 점 $P$가 네 꼭지점 $A, B, C, D$중 어느 하나에 도달할 수 있는 $a$의 값을 모두 구하여라. (단 $0< a<1$ 이다.) \vskip 3.5 true cm \begin{center} 그 \ 림 (kmo2-1.pcx) \end{center} \fbox{착안점} 반사하는 직선의 경로를 펴면, 결국은 좌표평면위에 한 직선이 되고, 꼭지점을 지나는 것은 이 직선이 격자점을 지날 때임을 이용한다. \medskip \item[7.] 원 $O$의 둘레 위에 점 $A, B$를 잡고, $\triangle OAB$가 정삼각형이 되도록 하였다. 원의 임의의 지름 $XY$를 잡고 직선 $XA, YB$의 교점을 $P$라 할 때, 지름 $XY$가 움직이면 점 $P$는 어떤 도형 위를 움직이는가? \vskip 3 true cm \begin{center} 그 \ 림 (kmo2-2.pcx) \end{center} \fbox{착안점} $P, \ (P), \ A, \ B$는 한 원 주위에 있음을 확인한다. \end{enumerate} \bigskip \begin{center} \Large{\slshape 오후문제} \end{center} \vskip 0.3 true cm \begin{enumerate} \item[1.] $n$ 과 $d$는 1보다 큰 자연수이다. 다항식 $$f(x)=(x-\alpha_1)(x-\alpha_2)\cdots (x-\alpha_n)\qquad (\mbox{단, $\alpha_i$는 복소수})$$ 가 $w^d$인 모든 복소수 $w$에 대하여 $$f(wx) = f(x)$$ 를 만족시킨다. 이때, $\alpha_1+\alpha_2+\cdots + \alpha_n$의 값을 구하여라. \fbox{착안점} 직접 $f(wx)$와 $f(x)$의 계수를 비교해 보면, $f$가 $d$의 배수차항만 갖는다는 것을 알 수 있다. \medskip \item[2.] $n$이 자연수이고 $\alpha$가 실수일 때 $$[\alpha]+\Big[\alpha+\frac 1n\Big] +\cdots + \Big[\alpha+ \frac {n-1}n\Big]=[n\alpha]$$ 가 성립함을 증명하여라. (단 $[\alpha]$는 $\alpha$를 넘지 않는 최대의 정수값을 나타낸다.) \fbox{착안점} $\alpha-[\alpha]$가 $[0, 1)$을 $n$등분했을때 어느 구간에 있다고 가정한 후 직접 계산해 보자. \medskip \item[3.] 수열 $a_0, a_1, a_2, \cdots , a_n, \cdots $이 $m\geqq 2$인 모든 자연수 $m$에 대하여 $$\begin{pmatrix} 1&1\\ 1&0\end{pmatrix}^m = \begin{pmatrix} a_m & a_{m-1}\\ a_{m-1}&a_{m-2}\end{pmatrix} $$ 인 관계식을 만족시킨다. 이때, 음이 아닌 모든 정수 $n$에 대하여 $a_{5n+1}\geqq 10^n$이 성립함을 증명하여라. \fbox{착안점} 먼저 $a_n$의 점화식을 구해본 후, $a_{5n+1} \geqq 10 a_{5(n-1)+1}$임을 보자. \medskip \item[4.] $a, b, c$ 세 문자만을 사용하여 단어를 만들려고 한다. 문자 $a$ 와 $b$는 같은 것끼리 인접하여 배열할 수 없다고 할 때, 문자의 개수가 $n$인 모든 단어의 갯수를 구하여라. \fbox{착안점} $c$에 관해 경우를 구별해서 점화식을 만들어 보자. \medskip \item[5.] $\overline{CB}=a, \ \overline{CA}=b, \ \overline{AB}=c, \ \angle C=90^\circ$인 직각삼각형 $ABC$에서, 꼭지점 $C$에서 빗변 $AB$에 내린 수선의 발을 $H$라 한다. $\triangle ABC, \triangle CAH, \triangle BCH$의 내접원의 중심을 각각 $O, O_1, O_2$라 하고 내접원의 반지름의 길이를 각각 $r, r_1, r_2$라 한다. $\overline{CH}=h$라 할 때 다음 물음에 답하여라. (l) $r+r_1+r_2=h$ 임을 증명하여라. (2) $\triangle OO_1O_2$의 넓이를 $r$과 $c$로 나타내어라. \fbox{착안점} 삼각형의 닮음을 이용해 $r=\frac {ab}{a+b+c}$임을 보이자. \end{enumerate} \end{document}