%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %이 화일에 수록된 수학문제와 글에 대한 저작권은 대한수학회에 있습니다.% %개인적인 사용만 허용되어 있습니다. % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \documentclass[10pt]{article} \usepackage{hangul} \usepackage{amstex} \usepackage{amssymb} \usepackage{ctfonts} \begin{document} \begin{center} \Large{제 35회 국제수학올림피아드\\ 1994년 7월 13일 - 14일, 홍콩} \end{center} \vskip 1true cm \begin{center} \Large{제 1일 문제} \end{center} \vskip 0.3 true cm \begin{enumerate} \item[1.] $m, n$은 자연수이고 $a_1, a_2, \cdots , a_m$은 집합$\{1, 2, \cdots , n\}$의 서로 다른 원소들로서 다음의 조건을 만족시킨다고 하자. 만약 $a_i+a_j\leqq n\quad (1\leqq i\leqq j\leqq m)$이면 적당한 $k(1\leqq k\leqq m)$가 존재하여 $a_i+a_j=a_k$이다. 이때 부등식 $$\frac {a_1+a_2+\cdots + a_m}m \geqq \frac {n+1}2$$ 을 증명하라. \fbox{착안점} 모든 $1\leqq i\leqq n$에 대해서, $a_i+a_{m+1-i} \geqq n+1$임을 보이자. \medskip \item[2.] $ABC$는 $AB=AC$인 이등변 삼각형이다. (i) $M$은 $BC$의 중점이고, $O$는 직선 $AM$상에 있고 $OB$가 $AB$에 수직이 되게 하는 점이다. (ii) $Q$는 $B, C$와 다른 점으로 선분 $BC$상의 임의의 점이다. (iii) $E$는 직선 $AB$상에 있고 $F$는 직선 $AC$상에 있는 점으로, $E, Q, F$는 서로 다른 점이고 동일 직선 상에 있다. 이때, $OQ$가 $EF$에 수직일 필요충분조건은 $QE=QF$임을 증명하라. \fbox{착안점} $OEBQ$ 와 $OCFQ$가 원에 내접하는 사각형임을 사용하자. \medskip \item[3.] 임의의 자연수 $k$에 대하여 $f(k)$는 집합 $\{k+1, k+2, \cdots , 2k\}$의 원소들 중 이진법으 표시했을 때 정확히 세 개의 1만을 자리수로 갖는 수들의 개수라 하자. 이때 (a) 각 자연수 $m$에 대하여 $f(k)=m$을 만족시키는 자연수 $k$가 적어도 하나 있음을 증명하라. (b) 위의 방정식을 만족시키는 $k$가 단 한개만 존재하는 자연수 $n$을 모두 구하라. \fbox{착안점} $g(k)=\{1, 2, \cdots , k\}$ 중에서 2진수 표현법에서 1이 정확히 3개인수들의 개수 $f(k+1)-f(k)$는 $2k+1$ 와 $g(2k+2)$에 따라 달라짐을 이용하자. \end{enumerate} \bigskip \begin{center} \Large{제 2일 문제} \end{center} \vskip 0.3 true cm \begin{enumerate} \item[4.] $\displaystyle \frac {n^3+1}{mn-1}$이 정수가 되게 하는 자연수들의 순서쌍 $(m, n)$을 모두 구하라. \fbox{착안점} $mn-1\ | \ n^3+1$과 $mn-1\ | \ m^3+1$이 동치임을 보이자. \medskip \item[5.] $S$을 $-1$ 보다 큰 실수들의 집합이라 하자. 이때 다음 조건들을 만족시키는 함수 $f:S\to S$를 모두 구하라. (i) $S$에 있는 모든 $x, y$에 대하여 $$f(x+f(y)+xf(y))=y+f(x)+yf(x),$$ (ii) 함수 $\frac {f(x)}x$는 구간 $-1 < x<0$에서 강증가하고 또한 구간 $0