%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %이 화일에 수록된 수학문제와 글에 대한 저작권은 대한수학회에 있습니다.% %개인적인 사용만 허용되어 있습니다. % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \documentclass[10pt]{article} \usepackage{hangul} \usepackage{amstex} \usepackage{amssymb} \usepackage{ctfonts} \begin{document} \begin{center} \Large{제 34회 국제수학올림피아드\\ 1993년 7월 18일 - 19일, 터어키} \end{center} \vskip 1true cm \begin{center} \Large{제 1일 문제} \end{center} \vskip 0.3 true cm \begin{enumerate} \item[1.] $n$은 $n>1$인 정수이고, $f(x)=x^n + 5x^{n-1} +3$이라고 하자. $f(x)$를 각각의 차수가 1이상이고 정수 계수를 가지는 두 개의 다항식의 곱으로 표시할 수 없음을 증명하여라. \fbox{착안점} $f(x)=g(x)h(x)$라 하고 $f, g, h$의 상수항을 조사해 본다. \medskip \item[2.] 예각 삼각형 $ABC$의 내부의 점 $D$가 다음의 조건을 만족시킨다고 하자. \begin{eqnarray*} \angle ADB=\angle ACD+90^\circ\\ \overline{AC}\cdot \overline{BD}=\overline{AD}\cdot \overline{BC} \end{eqnarray*} (a) $\frac {\overline{AB}\cdot \overline{CD}}{\overline{AC}\cdot \overline{BD}}$의 값을 구하여라. (b) 점 $C$에서 삼각형 $ACD$의 외접원에 그은 접선과 삼각형 $BCD$의 외접원에 그은 접선이 서로 수직임을 증명하여라. \fbox{착안점} (a) $D$에서 $BD$에 수선 $OE$를 긋고 $\overline{DE}= \overline{BD}$ 되게 $E$를 잡는다. (b) 원주각의 성질 이용 \medskip \item[3.] 무한 바둑판에서 다음과 같은 경기를 한다고 하자. 먼저, $n^2$개의 바둑알을 한 칸에 한 개씩, 가로 세로 각각 $n$개의 인접한 칸으로 이루어진 $n\times n$꼴의 정사각형이 되도록 배열한다. 바둑알은 그 자신의 상하좌우 중에서 어느 한 방향으로 인접한 칸에 바둑알이 놓여 있고 그 다음 칸이 비어 있는 경우에만, 그 빈 칸으로 건너 뛸 수 있다. 그리고 이렇게 건너 뛸 경우 중간에 있던 바둑알은 들어 낸다. 이렇게 진행된 경기가 바둑알이 한개만 남은 상태로 끝날 수 있기 위한 $n$의 값을 모두 구하여라. \fbox{착안점} 한번의 이동에 의해 가로 또는 세로의 이웃한 세칸에서만 변화가 일어남을 생각한다. \end{enumerate} \bigskip \begin{center} \Large{\slshape 제 2일 문제} \end{center} \vskip 0.3 true cm \begin{enumerate} \item[4.] 평면 위의 세 점 $P, Q, R$에 대하여, 삼각형 $PQR$의 세 개의 높이 중 최소값을 $m(PQR)$로 표시하자.(단, $P, Q, R$이 한 직선 위에 있으면 $m(PQR)=0$이라고 한다.) 평면 위에 점 $A, B, C$가 주어졌을 때, 같은 평면 위의 임의의 점 $X$에 대하여 다음을 증명하여라. $$m(ABC)\le m(ABX) +m(AXC)+m(XBC)$$ \fbox{착안점} 점의 위치에 따라서 경우를 나누어 생각한다. \medskip \item[5.] $\mathbb N=\{1, 2, 3, \cdots \}$ 이라고 하자. 다음의 조건을 만족시키는 함수 $f: \mathbb N \to \mathbb N$의 존재 여부를 밝혀라. \begin{center} \begin{minipage}{3.7in} $f(1)=2$ 모든 $n\in \mathbb N$에 대하여 $f(f(n))=f(n)+n$이고 모든 $n\in \mathbb N$에 대하여 $f(n) < f(n+1)$ \end{minipage} \end{center} \fbox{착안점} $g(x)=\alpha x$라 하고 $g(x)$를 이용해서 $f(x)$을 구해본다. \medskip \item[6.] $n$을 $n >1$인 정수라고 하자. $n$개의 전등 $L_0, L_1, \cdots , L_{n-1}$이 원형으로 배열되어 있다. 각 전등은 ON상태이거나 OFF상태이다. 일련의 조작 $S_0, S_1, \cdots , $ $S_i \cdots $를 다음과 같이 실행하자. 조작 $S_j$는 전등 $L_j$에 대해서만 실행하는 것으로서 (즉, 다른 전등의 상태에는 아무런 영향을 주지 않음): \begin{center} \begin{minipage}{4in} $L_{j-1}$이 ON상태일 경우, 조작 $S_j$는 $L_j$의 상태가 ON이면 OFF로, OFF이면 ON으로 바꾼다.; $L_{j-1}$이 OFF상태일 경우, 조작 $S_j$는 $L_j$의 상태를 바꾸지 않고 그대로 둔다. \end{minipage} \end{center} 전등의 번호는 mod n으로 붙여진 것이다. 즉, $$L_{-1} = L_{n-1},\quad L_0=L_n,\quad L_1=L_{n+1}, \quad \cdots $$ 처음에는 모든 전등이 ON상태라고 가정할 때, 다음을 증명하여라. \begin{enumerate} \item[(a)] 적당한 자연수 $M(n)$이 존재하여, $M(n)$번의 조작을 실행하면 모든 전등이 다시 ON상태가 된다. \item[(b)] $n$이 $2^k$의 꼴이면, $n^2-1$번의 조작을 실행하면 모든 전등이 다시 ON 상태가 된다. \item[(c)] $n$이 $2^k+1$의 꼴이면, $n^2-n+1$번의 조작을 실행하면 모든 전등이 다시 ON상태가 된다. \end{enumerate} \fbox{착안점} $L_j$의 상태를 $v_j$라 표시하고 on일때 $v_j=1$, off 일때 $v_j=0$를 대응시키면 $S_j$는 $v_j$를 $v_j+v_{j-1}$ (mod 2)로 바꾼다는 사실에 착안한다. \end{enumerate} \end{document}