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\documentclass[10pt]{article} 
\usepackage{hangul} 
\usepackage{amstex}     
\usepackage{amssymb}
\usepackage{ctfonts} 
\begin{document}     
\begin{center}
\Large{제 33회 국제수학올림피아드\\
1992년 7월 15일 - 16일, 러시아}
\end{center}                    
\vskip 1true cm
\begin{center}
\Large{제 1일 문제}
\end{center}                                         
          
\vskip 0.3 true cm   
  
\begin{enumerate} 
\item[1.] $(a-1)(b-1)(c-1)$이 $abc-1$의 약수인 모든 정수 $a, b, c$를 
구하라. 단, $1<a<b<c$.
     
\fbox{착안점} $\frac{abc-1}{(a-1)(b-1)(c-1)}=k$라 하고 먼저 가능한 
$k$값을 구한다.                     
\medskip
\item[2.]  모든 실수의 집합을 $R$이라 하자. 임의의 두 실수 $x, y$에 
대하여   $$f(x^2+f(y))=(f(x))^2+y$$
를 만족시키는 함수 $f : R\longrightarrow R$을 모두 구하라. 

\fbox{착안점} 주어진 관계식을 잘 조사하여 우선 $f(n)=n \quad 
(n$은 정수)임을 보인다.              
          
\medskip
\item[3.] 공간상에서 어느 네 점도 동일한 평면 상에는 있지 않는 아홉개의 
점이 있다. 각 두 점을 변(즉, 선분)으로 연결하여 각 변을 붉은색, 혹은 
파란색으로 색칠하든지 혹은 칠하지 않는다고 한다. 꼭 $n$개의 변들
만이 색칠되었을 때, 색칠하는 방법에 관계없이 색칠된 변들 중에는 세 
변이 모두 같은 색으로 칠해진 삼각형이 반드시 하나는 존재할 $n$의 값중 
최소값을 구하라.

\fbox{착안점} 세 변이 모두 같은 색으로 칠해진 삼각형이 하나도 없을 
경우를 생각한다.                  
\end{enumerate}
\bigskip
\begin{center}
\Large{제 2일 문제}
\end{center}                                                      
                              
\begin{enumerate}
\item[4.] 원 $O$, 원 $O$의 접선 $l$, 접선 $l$상의 점 $M$이 같은
 평면에 주어져 있다. 이때 다음 조건을 만족시키는 점 $P$의 자취를 
구하라.        
                          
\begin{center}
\begin{minipage}{3.7in} 적당한 점 $Q, R$이 직선 $l$상에 있어서 
점 $M$은 선분 $QR$의 중점이고, 원 $O$는 삼각헝 $PQR$의 
내접원이다.
\end{minipage} 
\end{center}

\fbox{착안점} 원 $O$와 접선 $l$의 접점과 중심에 대해 대칭인 점과
 $M$을 잇는 직선은 $P$를 지난다.              
\medskip
\item[5.]  삼차원 공간에서, 유한개의 원소로 된 집합 $S$가 있다. 집합 
$S$의 각 점의 $yz$-평면 $zx$-평면, $xy$-평면에 대한 정사영으로 
이루어진 집합을 각각   $S_x, S_y, S_z$라 하자. 이때              
$$|S|^2 \leqq |S_x| \cdot |S_y| \cdot |S_z|$$    
임을 증명하라. 단, 유한집합 $A$에 대하여 $|A|$는 집합 $A$의 원소의 
개수를 나타낸다.(점의 평면에 대한 정사영이란 그 점에서 그 평면에 내린 
수선의 발을 의미한다.)

\fbox{착안점} $S$의 원소들이 정사영에서 겹치는 경우를 생각한다.
\medskip
\item[6.]  각각의 양의 정수 $n$에 대하여 $S(n)$을 다음 조건을 
만족시키는 정수 $m$ 가운데서 최대인 정수라고 하자.
       
$1\leqq k\leqq m$인 모든 $k$에 대하여 $n^2$ 을 $k$개의 0이 아닌 
완전제곱수들의 합으로 나타낼 수 있다.            
                        
(a) 모든 $n\geqq 4$에 대하여 $S(n) \leqq n^2-14$임을 증명하라.   

(b) $S(n)=n^2-14$인 정수 $n$을 하나 구하라.       

(c) $S(n)=n^2-14$인 정수 $n$이 무한히 많이 있음을 증명하라.     
          
\fbox{착안점} $S(n)$은 $\sum\limits_{i=1}^n i^2 a_i=n^2, \ 
\sum\limits_{i=1}^n a_i = k(k=1, 2, \cdots , m)$을 만족시키는 음이 
아닌 정수해 $a_1, \cdots , a_n$이 존재하는 $m$의 최대값이다.        
\end{enumerate}                                     
\end{document}