%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %이 화일에 수록된 수학문제와 글에 대한 저작권은 대한수학회에 있습니다. %개인적인 사용만 허용되어 있습니다. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \documentclass[10pt]{article} \usepackage{hangul} \usepackage{amstex} \usepackage{amssymb} \usepackage{ctfonts} \begin{document} \begin{center} \Large{\slshape 제 30회 국제수학올림피아드\\ 1989년 7월 18일 - 19일, 서독} \end{center} \vskip 1true cm \begin{center} \Large{제 1일 문제} \end{center} \vskip 0.5 true cm \begin{enumerate} \item[1.] 집합 $\{1, 2, \cdots , 1989\}$는 다음 두 조건을 만족시키는 서로 소인 부분집합 $A_i (i=1, 2, \cdots , 117)$의 합으로 나타낼 수 있음을 증명하여라. \begin{enumerate} \item[(i)] 모든 $i$에 대하여, 집합 $A_i$는 17개의 원소를 가지고, \item[(ii)] 집합 $A_i$의 모든 원소의 합은 모두 같다. \end{enumerate} \medskip \fbox{착안점} \begin{center} \begin{tabular}{c|rrcr} \ & 1, & 2, &$\cdots $, & n\\ \ & n, & $n-1$, & $\cdots$, & 1\\ \hline \ & $n+1$, & \ $n+1$ \ & $\cdots $ & $n+1$ \end{tabular} \end{center} 임을 이용하라. \medskip \item[2.] 예각삼각형 $ABC$에서, 각 $A$의 내각의 이등분선이 삼각형 $ABC$의 외접원과 다시 만나는 점을 $A_1$이라 하고, 점 $B_1$ 과 $C_1$을 같은 방법으로 정의한다. 또, 직선 $AA_1$이 두 점 $B$와 $C$에서의 외각의 이등분선과 만나는 점을 $A_0$라 하고, 점 $B_0$ 과 $C_0$을 같은 방법으로 정의한다. 다음을 증명하여라. (i) \ 삼각형 $A_0B_0C_0$의 넓이 $= 2\times$ (육각형의 $AC_1 B A_1 C B_1$ 넓이) (ii) 삼각형 $A_0B_0C_0$의 넓이 $\geqq 4\times$ (삼각형 $ABC$의 넓이) \medskip \fbox{착안점} (i) 우선 $\square IAC_0B$의 넓이 $= 2 \times (\square IBA_1C$의 넓이)를 보이면 된다. (ii) $H$를 수심이라 할때 $\square BA_1CH \ge 2\triangle BCH$임을 보이면 된다. \medskip \item[3.] $n$과 $k$는 양의 정수이고, $S$는 다음 조건을 만족시키는 평면 위의 $n$개의 점으로 된 집합이라 한다. \begin{enumerate} \item[(i)] $S$의 어떤 세 점도 같은 직선 위에 있지 않고, \item[(ii)] $S$의 모든 점 $P$에 대하여, $P$에서 같은 거리에 있는 $S$의 점이 적어도 $k$개 존재한다. \end{enumerate} 다음을 증명하여라. $$k<\frac 12+\sqrt {2n}$$ \medskip \fbox{착안점} 한 점 $P$에서 같은 거리에 있는 점들을 이은 선분의 갯수를 적어도 $\binom k2$이고 가정에 의해 $\frac n2 \binom k2>\binom n2$ 임을 보인다. \end{enumerate} \bigskip \begin{center} \Large{\slshape 제 2일 문제} \end{center} \begin{enumerate} \item[4.] 볼록사각형 $ABCD$에서, 변 $AB, AD, BC$에 대하여 $AB=AD+BC$인 관계가 있다. 변 $CD$로부터의 거리가 $h$이고, $$AP=h+AD,\qquad BP=h+BC$$ 를 만족시키는 점 $P$가 사각형의 내부에 존재한다고 한다. 다음을 증명하여라. $$\frac 1{\sqrt h}\geqq \frac 1{\sqrt{AD}}+\frac 1{\sqrt{ BC}}$$ \medskip \fbox{착안점} ``변 $CD$로부터의 거리가 $h$이고 $AP=h+AD, \quad BP=h+BD$를 만족시키는 점 $P$는 $CD$에 접하고 두 원에 외접하는 원의 중심이다." \medskip \item[5.] 모든 양의 정수 $n$ 에 대하여, 모두가 소수의 정수제곱이 아닌 연속한 $n$개의 양의 정수가 존재함을 밝혀라. \medskip \fbox{착안점} $\{(n+1)!\}^2+k,\qquad 2\leqq k\leqq n+1$은 합성수임을 이용한다. \medskip \item[6.] $n$ 이 양의 정수일 때, 집합 $\{1, 2, \cdots , 2n\}$의 순열 $(x_1, x_2, \cdots , x_{2n})$은 $\{1, 2, \cdots , $ $2n-1\}$중의 적어도 하나의 $i$ 에 대하여 $|x_i-x_{i+1}|=n$을 만족시킬 때, 성질 $P$를 갖는다고 한다. 모든 양의 정수 $n$에 대하여, 성질 $P$를 가지는 순열의 개수는 성질 $P$를 갖지않는 순열의 개수보다 더 많음을 밝혀라. \medskip \fbox{착안점} 포함과 배제의 원리를 이용한다. \end{enumerate} \end{document}