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\documentclass[10pt]{article} 
\usepackage{hangul} 
\usepackage{amstex}     
\usepackage{amssymb} 
\usepackage{ctfonts}
\begin{document}     
\begin{center}
\Large{제 29회 국제수학올림피아드\\
1988년 7월 15일 - 16일, 호주}
\end{center}                                              
\vskip 1true cm
\begin{center}
\Large{제 1일 문제}
\end{center}                                                       
          
\vskip 0.3 true cm   
  
\begin{enumerate} 
\item[1.] 반지름이 각각 $R$과 $r(R>r)$이고 중심이 같은, 동일 평면상에 있는 
두 원을 생각하자. $P$는 작은 원 위에 있는 고정된 점이고 $B$는 큰 원 위에서 
움직이는 점이다. 직선 $BP$는 큰 원 위의 한 점 $C$에서 큰 원과 다시 만난다. 
$P$를 지나고 $BP$에 수직인 직선 $l$은 작은 원 위의 한 점 $A$에서 작은 원과 
다시 만난다.(직선 $l$이 $P$에서 작은 원의 접선인 경우는
 $A=P$이다.)                        
          
(I) $BC^2 + CA^2 + AB^2$의 값들의 집합을 구하여라.      
                                                                
(II) 선분 $AB$의 중점의 자취를 구하여라.                
                                               
\fbox{착안점} (평면기하) 
$\angle OPA=\theta$ 라고 놓고 피타고라스 정리를 사용. 
                           
\medskip
\item[2.] $n$은 양의 정수이고 $A_1, A_2, \cdots , A_{2n+1}$은 집합 $B$의 
부분집합들이다. 다음 세 조건을 가정하자.       

(a) 각각의 $A_i$는 $2n$개의 원소를 갖는다.        

(b) 각각의 $A_i\cap A_j (1\le i<j\le 2n+1)$는 꼭 한 개의 원소만을 갖는다.   

(c) $B$의 각 원소는 적어도 두 개의 $A_i$에 속한다.
                          
$B$의 각 원소에 0이나 1을 대응시켜서 각각의 $A_i$가 0에 대응되는 원소를 꼭 
$n$개만 갖도록 하려고 한다. 이 조건을 만족하는 $n$의 값들을 결정하여라.
      
\fbox{착안점} 세 조건 $(a), (b), (c)$ 로부터 ``$B$의 각 원소는 꼭 두 개의 
$A_i$에 속한다."는 사실을 얻는다.         
\medskip
\item[3.] 양의 정수들의 집합위에서 정의되는 함수 $f$가 다음과 같이 
주어진다. 

모든 양의 정수 $n$에 대해서,  
\begin{eqnarray*}  
f(1) & = & 1, \ \ f(3)=3, \\
f(2n) & = & f(n),  \\
f(4n+1)& = & 2f(2n+1)-f(n) \\
f(4n+3) & =&  3f(2n+1)-2f(n)
\end{eqnarray*}
$f(n)=n$을 만족하고 1988보다 작거나 같은 양의 정수 $n$의 개수를 구하여라.  
\fbox{착안점} $``f(n)=n$의 이진수 표현을 역으로 배열하여 얻은 수"
\end{enumerate}               
\bigskip
\begin{center}
\Large{제 2일 문제}
\end{center}                                              
          
\vskip 0.3 true cm   
                                                     
\begin{enumerate} 
\item[4.] 부등식 $\displaystyle \sum_{k=1}^{70} \frac k{x-k} \geqq 
\frac 54$을 만족하는 실수 $x$들의 집합은 서로 소인 구간들의 합집합이고, 
그 구간들의 길이의 합은 1988임을 증명하여라.                                
                  
\fbox{착안점} $\displaystyle S=\bigcup_{k=1}^{70} (i, x_i\ ], 
\quad i<x_i<i+1<x_{i+1}, \cdots $
다항식의 근과 계수의 관계 이용                                      
                                                             
\medskip
\item[5.] 직각 삼각형 $ABC$에서 $\angle A$는 직각이고 $AD$는 $A$에서 
빗변 $BC$에 내린 높이이다. 삼각형 $ABD$와 $ACD$의 내심을 잇는 직선이 
변 $AB$와 $AC$ 에서 만나는 점을 각각 $K, L$이라고 하자. $S$와 $T$를 
각각 삼각형 $ABC$ 와 $AKL$의 면적이라 할때, $S\geqq 2T$임을
 증명하여라.          

\fbox{착안점} 닮은꼴을 이용하여 $\triangle AKL$이 이등변삼각형임을 
보이고 닮은 비로 $T$의 면적을 구하자.         
\medskip
\item[6.] $a$와 $b$는 양의 정수이고 $a^2+b^2$은 $ab+1$로 나눠 떨어진다.
$\displaystyle \frac {a^2+b^2}{ab+1}$은 완전제곱임을 보여라. 
                                           
{\bf 참고} 어떤 정수의 제곱으로 표시되는 수를 완전제곱이라 한디.    

\fbox{착안점} $\displaystyle \frac {a^2+b^2}{ab+1}$이 정수가 되는 
양의 정수쌍 $(a, b), \ 0<a\leqq b$에 대해서 $\displaystyle 
\frac {a^2+b^2}{ab+1}=\frac {r^2+a^2}{ra+1}$이 되는 정수 $r, \quad 
0\leqq r<a$이 존재함을 보임. 
\end{enumerate}   
\end{document}