\documentclass[11pt,a4paper,oneside]{article} \usepackage{hangul} \usepackage{amstex} \usepackage{amssymb} \usepackage{latexsym} \usepackage{ctfonts} \textheight21cm \textwidth15cm \begin{document} \begin{center} \Large{제 10 회 한국수학올림피아드 \\ 문\qquad 제} \end{center} \vskip 1 true cm (오전)\hfill{1996년 11월 10일} \vskip 0.5 true cm \begin{enumerate} \item[1.] 단위원의 내부 또는 둘레 위에서 임의로 4개의 점을 잡으면 항상 거리가 $\sqrt 2$ 이하인 두점이 있음을 보여라. \bigskip \medskip \item[2.] 자연수 전체의 집합을 $N$ 이라 할 때, 함수 $f : N \to N$가 두 조건 i) 모든 $n\in N$ 에 대해서 $f(n+f(n))=f(n)$ ii) 어떤 주어진 자연수 $n_0$에 대해서 $f(n_0)=1$ 을 만족시키면 $f$ 는 항등적으로 $f(n)= 1\ (n\in N)$ 임을 보여라. \bigskip \medskip \item[3.] 주어진 자연수 $n$ 에 대해서 $a=\bigl[\sqrt n\,\bigr]$라 할 때 $\qquad\qquad\quad \displaystyle \sum_{k=1}^n \bigl[\sqrt k\,\bigr]$ 을 $n$ 과 $a$의 식으로 나타내어라. 단, $[x]$는 $x$를 넘지 않는 최대의 정수이다. \bigskip \medskip \item[4.] 주어진 $\angle XOY$의 내부에 각의 두 변에 접하는 원 $C$가 주어져 있다. 이 원의 중심 $C$를 지나고 각의 두 변에 접하는 원을 $C_1$ 이라 하고, 원 $C_1$의 $C$를 지나는 지름의 다른 한 끝 점을 $A$, 이 지름과 원 $C$와의 교점을 $B$라한다. 이 때, $A$를 중심, 선분 $AB$를 반지름으로 하는 원은 $\angle XOY$의 변에 접함을 증명하여라. \end{enumerate} \vskip 2true cm 시간 : 150분 배점 : 각 문항 10점 \newpage \begin{center} \Large{제 10 회 한국수학올림피아드 \\ 문\qquad 제} \end{center} \vskip 1 true cm (오후)\hfill{1996년 11월 10일} \vskip 0.2 true cm \begin{enumerate} \item[5.] 방정식 $x^2+y^2+z^2-2xyz=0$을 만족시키는 정수 $x, y, z$를 모두 구하여라. \medskip \item[6.] 다음 조건을 만족시키는 두 개의 수열(중복가능) $\{a_i\}, \{b_i\}\ \ (i=1, 2, \cdots , k)$가 존재할 $k$의 최소값을 구하여라. i) 모든 $i=1, 2, \cdots , k$ 에 대하여 $a_i, b_i$는 집합 $S=\{1996^n \ | \ n=0, 1, 2, \cdots \}$의 원소이다. ii) 모든 $i=1, 2, \cdots , k$에 대하여, $a_i\ne b_i$ iii) 모든 $i=1, 2, \cdots , k-1$에 대하여, $a_i \leq a_{i+1}, \ b_i\leq b_{i+1}$ iv) $\sum_{i=1}^k a_i = \sum_{i=1}^k b_i$ \medskip \item[7.] 자연수 $n$에 대하여 $$1+\frac{\alpha_1}{\sqrt 2} +\frac{\alpha_2}{(\sqrt 2)^2} +\cdots +\frac{\alpha_n}{(\sqrt 2)^n} $$ 인 꼴로 표시되는 실수 전체의 집합을 $A_n$ 이라 하자. 단, $j=1, 2, \cdots , n$ 에 대하여 $\alpha_j = 1\ \text{또는}\ \alpha_j=-1$ 이다. 집합 $A_n$의 원소의 개수 $N$을 구하고, 또 $A_n$의 서로 다른 두 원소의 곱의 총합을 구하여라. \medskip \item[8.] $AB\ne AC$ 인 예각삼각형 $ABC$에서, 각 $A$의 이등분선과 변 $BC$와의 교점을 $V, A$에서 변 $BC$에 내린 수선의 발을 $D$라 한다. 세 점 $A, V, D$를 지나는 원이 변 $AB, CA$와 만나는 점을 각각 $E, F$ 라 하면 세 직선 $AD, BE, CF$는 한 점에서 만남을 증명하여라. \end{enumerate} \vskip 2true cm 시간 : 150분 배점 : 각 문항 10점 \end{document}